Metode Matematika Dahsyat

METODE pembelajaran Matematika kian berkembang. Jika sebelumnya muncul Sempoa dan Kumon, kini muncul metode baru di Madiun. Yakni, Matematika Dahsyat. Cara itu menawarkan pembelajaran Matematika secara praktis dan cepat. ”Dahsyat karena tidak membutuhkan konsep berfikir yang rumit tapai sesuai kebutuhan,” terang Fachrurodin HS, penemu rumus-rumus Matematika Dahsyat, kemarin (12/10).
Diungkapkan, meski Matematika Dahsyat memberikan solusi belajar praktis, tapi tidak menyimpang dari kurikulum pendidikan di sekolah. Sehingga, semua siswa mampu memahami dengan mudah dan mempraktikkannya di sekolah. ”Metode itu yang digunakan pelajar di luar negeri,” ujar lulusan lembaga pendidikan di Jepang itu.
Fahrur datang ke Madiun memberikan beberapa rumus pembalajaran berhitung secara cepat dan tepat di Graha Bakti Praja. Mulai perhitungan luas, isi, jumlah dan berbagai soal Matematika lain.
Ia juga berbagi berbagai rumsu perhitungan yang sebelumnya terkesan rumit menjadi mudah. Kepandaian dan kecepatan Fahrur menyelesaikan berbagai soal yang terkesan rumit membuat ratusan siswa terpana. ”Matematika itu jangan dipikir, tapi dihitung. Jadinya simple, tidak terlalu berat,” jelasnya.
Tak hanya kepada siswa, Fahrur juga berbagai ilmu bersama puluhan guru SD di Madiun. Bahkan, ia juga meminta para guru secara langsung membandingkan rumus ciptaannya itu dengan kurikulum di buku. ”Kami tidak ingin nanti guru justru kalah dengan siswa di kelas, makanya guru juga harus belajar Matematika Dahsyat ini,” tambahnya.
Menurut Subiyono, Ketua Lembaga Pendidikan Cerdas Madiun, pihaknya sengaja mendatangkan Fahrur ke Madiun untuk memberikan wacana baru tentang metode Matematika kepada siswa Madiun.
”Kami ingin, siswa bisa membandingkan antara metode di sekolah atau metode lainnya dengan dahsyat ini. dan pada akhirnya akan meningkatkan prestasi siswa atau minimal menambah keilmuan siswa,” katanya. (dhy/rif)
jawapos

Read More

Himpunan Bagian

Himpunan bagian (subset) merupakan salah satu sub topik pada materi himpunan.  Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B (ditulis  ) jika setiap anggota A adalah anggota B. Sebagai akibat dari definisi tersebut, himpunan kosong (ditulis {}) adalah subset dari sebarang himpunan. Mengapa bisa demikian? Hal ini bisa dijelaskan dengan mengambil kontraposisi syarat keanggotaan, yaitu jika x bukan anggota B, maka x bukan anggota A. Jika himpunan A kita ganti dengan himpunan kosong, maka terpenuhilah definisi sehingga himpunan kosong subset dari sebarang himpunan.
Cara lain memahami hal tersebut adalah dengan tabel logika. perhatikan bahwa definisi subset dapat kita tulis sebagai berikut: jika x anggota A (anggap ini p), maka x anggota B (anggap ini q). Jelas untuk A={} pernyataan  p bernilai salah. Lihat kembali tabel kebenaran untuk implikasi, maka akan kita dapatkan nilai pernyataan  p -> q selalu benar untuk apa pun nilai kebenaran q (baik B maupun S). Ini merupakan penjelasan kepada kita yang sudah mengenal logika setidaknya di SMA.
Bagaimana menjelaskan himpunan kosong adalah subset sebarang himpunan kepada siswa SMP atau sederajat? Tentu tidak bisa dengan penjelasan seperti di atas. Kita perlu menggunakan ilustrasi yang sesuai dengan alam pikiran mereka.  Untuk itu, ambillah sebuah mangkuk dan buatlah angka 1, 2, 3 dari karton. Letakkan angka-angka tersebut ke dalam mangkuk. Dengan demikian kita mempunyai himpunan yang beranggotakan 1, 2, dan 3 (anggaplah A={1,2,3}). Untuk menunjukkan himpunan bagian dari himpunan tersebut, ambillah satu buah anggota, misalnya 1, maka yang tersisa adalah 2 dan 3. Ini merupakan representasi himpunan {2,3} yang merupakan subset dari A. Lakukan untuk angka-angka yang berbeda, misalnya kita ambil 1 dan 3, maka yang tersisa di mangkuk adalah angka 2. Ini merupakan representasi dari {2} yang merupakan subset dari A.
Lakukan hal ini untuk merepresentasikan himpunan bagian yang lain. Setelah itu, ambil semua angka yang ada di mangkuk, maka mangkuk menjadi kosong. Karena setiap pengambilan angka (anggota) merupakan himpunan bagian dari A, maka pengambilan semua anggota juga merupakan himpunan bagian dari A. Pengambilan semua angka (1,2,3) mengakibatkan mangkuk menjadi kosong. Ini merupakan representasi dari himpunan kosong sebagai himpunan  bagian dari A.
Demikian ilustrasi yang dapat kita gunakan untuk menjelaskan himpunan kosong adalah subset dari sebarang himpunan. Kembali ke materi himpunan bagian, jika kita mempunyai himpunan A={1,2,3}, maka himpunan bagian dari A tersebut adalah sebagai berikut: {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A={1,2,3}. Secara umum jika n(A)=m, maka banyaknya himpunan  bagian dari A ada sebanyak 2 pangkat n.
Penjelasan lain yang lebih detail tentang himpunan bagian dapat dibaca di buku matematika untuk  SMP atau sederajat. Demikian materi singkat ini, semoga bermanfaat.
Salam,
Anwar Mutaqin, Aan Hendrayana, dan Heni Pujiastuti.

Read More

Barisan Aritmatika

Published by aanhendrayana under Barisan dan Deret, SMP Kelas 3

Carl Friederich Gauss adalah seorang matematikawan besar yang berasal dari Jerman. Gauss dijuluki sebagai pangeran matematika. Pada usia sekita SD kelas 5, Gauss terkenal sering membuat keributan bersama teman-temannya di kelas. Karena tidak mampu mengendalikan kelas, gurunya memberi soal yang sebenarnya mudah tetapi memerlukan waktu lama untuk menyelesaiakan soal tersebut. Soal yang diberikan adalah hitunglah .
Semua murid mengerjakan soal tersebut, tetapi hanya beberapa saat, Gauss sudah membuat ulah kembali. Kemudian guru mendatangi Gauss untuk menanyakan berapa jawaban soal yang diberikan. Luar biasa, Gauss menjawab dengan benar, yaitu 5050. Bagaimana Gauss bisa menjawab soal tersebut dalam waktu yang singkat. Ternyata Gauss memasangkan 1 dengan 100, 2 dengan 99 dan seterusnya yang masing-masing jumlahnya 101. Ada 50 pasangan sehingga jawaban soal di atas adalah .
Cerita di atas dapat digunakan sebagai ilustrasi untuk pembelajaran barisan dan deret bilangan. Mengapa barisan dan deret harus diajarkan di sekolah? Tujuan pembelajaran matematika di sekolah menurut Permendiknas No. 22 tahun 2006 tentang standar isi salah satunya adalah menggunakan penalaran pada pola dan sifat. Dalam belajar matematika siswa dituntut untuk mengenali pola sehingga membuat rumusan umum terhadap pola tersebut. Materi matematika yang berkaitan dengan pola salah satunya adalah barisan dan deret.
Standar kompetensi yang ditetapkan pada materi barisan dan deret adalah memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar yang akan dicapai adalah sebagai berikut:

1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.

Perhatikan pola barisan berikut: 2, 5, 8, 11, … . Masing-masing bilangan disebut suku, jadi suku pertama adalah 2, suku kedua adalah 5 dan seterusnya. Berapakah dua suku selanjutnya? Kita perhatikan bahwa selisih antar bilangan adalah 3, maka dengan mudah kita mengetahui bahwa dua suku selanjutnya adalah 14 dan 17.  Bagaimana jika yang diminta adalah suku ke-100? suku ke-1000? Tentu tidak mungkin dilakukan dengan menuliskan semua suku-sukunya. Hal yang sama juga berlaku untuk pola bilangan seperti: 1, 2, 4, 8, … .
Dua contoh pola bilangan di atas disebut barisan. Secara umum ada tiga macam barisan, yaitu barisan aritmatika, barisan geometri, dan barisan bukan aritmatika dan bukan geometri. Ciri barisan aritmatika adalah memiliki selisih yang sama antar suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua dan seterusnya. Jika selisih tersebut kita notasikan dengan b, maka . Selanjutnya, bagamana mendapatkan rumus suku ke-n?
Jika suku pertama kita misalkan a dan bedanya adalah b, maka barisan tersebut adalah sebagai berikut

sehingga rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika adalah dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda.
Sebagai contoh, diketahui barisan dengan suku-suku 2, 5, 8, … , maka suku ke-100 bilangan tersebut adalah . Secara umum rumus suku ke-n adalah

Read More

Pola bilangan

Pola bilangan
ex: pola bilangan ganjil
pola bilangan genap
pola bilangan kelipatan 4



Barisan:

ex: Barisan bilangan ganjil = 1,3,5,7,9,...
Barisan bilangan Genap = 2,4,6,8,10,...
Barisan Bilangan Kelipatan 4 = 4,8,12,16,...


Deret:

# BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n


# DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

Read More

Mencari Akar Pangkat Tiga Sebuah Bilangan

Oleh Al Jupri

Pak Al Jupri, bagaimana sih menentukan akar pangkat tiga sebuah bilangan itu? Misalnya bagaimana menentukan nilai dari

Demikian kurang lebihnya satu pertanyaan yang diajukan oleh salah seorang komentator di blog ini. Mulanya akan langsung saya jawab pertanyaan tersebut di kolom komentar. Namun, saya berpikir bahwa pertanyaan tersebut akan lebih bermanfaat bila saya jawab dalam bentuk sebuah artikel. Karena itu, inilah jawaban yang (baru) bisa saya berikan!

Mencari nilai dari , secara geometris, berarti menentukan panjang rusuk sebuah kubus yang volumnya adalah satuan volum. Dengan menggunakan sedikit kemampuan menaksir (memperkirakan), maka dengan mudah kita dapatkan bahwa perkiraan panjang rusuk sebuah kubus–yang mempunyai volum 100 satuan volum– adalah 4, 64… satuan panjang. Sehingga, kita bisa menyimpulkan bahwa nilai dari kira-kira adalah 4, 64….

Cara lain untuk mempermudah dalam menentukan akar pangkat tiga sebuah bilangan adalah dengan menggunakan bantuan sifat-sifat logaritma–dipelajari di tingkat SMA (Sekolah Menengah Atas). Untuk kasus di atas, dalam menentukan adalah sebagai berikut.

Misalkan , maka dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita bisa menulis seperti berikut ini:

log log

log log

log log

log

log

log

Dengan menggunakan tabel logaritma, anti logaritma dari log kira-kira adalah . Dengan demikian, .

Nah, untuk kasus yang lain dapat ditangani dengan cara yang serupa dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma. Dengan menggunakan cara serupa di atas (menggunakan sifat-sifat logaritma), kita pun dapat menentukan akar pangkat ke-n dari suatu bilangan.

Bagi Anda yang kesulitan mengikuti proses penentuan akar pangkat tiga–dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, saya mohon maaf, karena salah satu caranya memang begitu yakni: menggunakan sifat-sifat logaritma yang dipelajari di tingkat SMA.

Bagi Anda yang memiliki cara lain, saya undang untuk menginformasikannya di kolom komentar. Terima kasih!

=======================================================

Ya sudah segitu saja ya jumpa kita kali ini. Mudah-mudahan artikel ini ada manfaatnya. Amin

Sampai jumpa di artikel mendatang!

Read More

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri :)

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).


Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:


Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :


2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :


Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n
Dengan P sebagai parameter dan

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

Read More