Barisan Aritmatika

Published by aanhendrayana under Barisan dan Deret, SMP Kelas 3

Carl Friederich Gauss adalah seorang matematikawan besar yang berasal dari Jerman. Gauss dijuluki sebagai pangeran matematika. Pada usia sekita SD kelas 5, Gauss terkenal sering membuat keributan bersama teman-temannya di kelas. Karena tidak mampu mengendalikan kelas, gurunya memberi soal yang sebenarnya mudah tetapi memerlukan waktu lama untuk menyelesaiakan soal tersebut. Soal yang diberikan adalah hitunglah .
Semua murid mengerjakan soal tersebut, tetapi hanya beberapa saat, Gauss sudah membuat ulah kembali. Kemudian guru mendatangi Gauss untuk menanyakan berapa jawaban soal yang diberikan. Luar biasa, Gauss menjawab dengan benar, yaitu 5050. Bagaimana Gauss bisa menjawab soal tersebut dalam waktu yang singkat. Ternyata Gauss memasangkan 1 dengan 100, 2 dengan 99 dan seterusnya yang masing-masing jumlahnya 101. Ada 50 pasangan sehingga jawaban soal di atas adalah .
Cerita di atas dapat digunakan sebagai ilustrasi untuk pembelajaran barisan dan deret bilangan. Mengapa barisan dan deret harus diajarkan di sekolah? Tujuan pembelajaran matematika di sekolah menurut Permendiknas No. 22 tahun 2006 tentang standar isi salah satunya adalah menggunakan penalaran pada pola dan sifat. Dalam belajar matematika siswa dituntut untuk mengenali pola sehingga membuat rumusan umum terhadap pola tersebut. Materi matematika yang berkaitan dengan pola salah satunya adalah barisan dan deret.
Standar kompetensi yang ditetapkan pada materi barisan dan deret adalah memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar yang akan dicapai adalah sebagai berikut:

1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.

Perhatikan pola barisan berikut: 2, 5, 8, 11, … . Masing-masing bilangan disebut suku, jadi suku pertama adalah 2, suku kedua adalah 5 dan seterusnya. Berapakah dua suku selanjutnya? Kita perhatikan bahwa selisih antar bilangan adalah 3, maka dengan mudah kita mengetahui bahwa dua suku selanjutnya adalah 14 dan 17.  Bagaimana jika yang diminta adalah suku ke-100? suku ke-1000? Tentu tidak mungkin dilakukan dengan menuliskan semua suku-sukunya. Hal yang sama juga berlaku untuk pola bilangan seperti: 1, 2, 4, 8, … .
Dua contoh pola bilangan di atas disebut barisan. Secara umum ada tiga macam barisan, yaitu barisan aritmatika, barisan geometri, dan barisan bukan aritmatika dan bukan geometri. Ciri barisan aritmatika adalah memiliki selisih yang sama antar suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua dan seterusnya. Jika selisih tersebut kita notasikan dengan b, maka . Selanjutnya, bagamana mendapatkan rumus suku ke-n?
Jika suku pertama kita misalkan a dan bedanya adalah b, maka barisan tersebut adalah sebagai berikut

sehingga rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika adalah dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda.
Sebagai contoh, diketahui barisan dengan suku-suku 2, 5, 8, … , maka suku ke-100 bilangan tersebut adalah . Secara umum rumus suku ke-n adalah