Pages

Oct 7, 2011

Himpunan Bagian

Himpunan bagian (subset) merupakan salah satu sub topik pada materi himpunan.  Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B (ditulis  subset) jika setiap anggota A adalah anggota B. Sebagai akibat dari definisi tersebut, himpunan kosong (ditulis {}) adalah subset dari sebarang himpunan. Mengapa bisa demikian? Hal ini bisa dijelaskan dengan mengambil kontraposisi syarat keanggotaan, yaitu jika x bukan anggota B, maka x bukan anggota A. Jika himpunan A kita ganti dengan himpunan kosong, maka terpenuhilah definisi sehingga himpunan kosong subset dari sebarang himpunan.
Cara lain memahami hal tersebut adalah dengan tabel logika. perhatikan bahwa definisi subset dapat kita tulis sebagai berikut: subset jika x anggota A (anggap ini p), maka x anggota B (anggap ini q). Jelas untuk A={} pernyataan  p bernilai salah. Lihat kembali tabel kebenaran untuk implikasi, maka akan kita dapatkan nilai pernyataan  p -> q selalu benar untuk apa pun nilai kebenaran q (baik B maupun S). Ini merupakan penjelasan kepada kita yang sudah mengenal logika setidaknya di SMA.
Bagaimana menjelaskan himpunan kosong adalah subset sebarang himpunan kepada siswa SMP atau sederajat? Tentu tidak bisa dengan penjelasan seperti di atas. Kita perlu menggunakan ilustrasi yang sesuai dengan alam pikiran mereka.  Untuk itu, ambillah sebuah mangkuk dan buatlah angka 1, 2, 3 dari karton. Letakkan angka-angka tersebut ke dalam mangkuk. Dengan demikian kita mempunyai himpunan yang beranggotakan 1, 2, dan 3 (anggaplah A={1,2,3}). Untuk menunjukkan himpunan bagian dari himpunan tersebut, ambillah satu buah anggota, misalnya 1, maka yang tersisa adalah 2 dan 3. Ini merupakan representasi himpunan {2,3} yang merupakan subset dari A. Lakukan untuk angka-angka yang berbeda, misalnya kita ambil 1 dan 3, maka yang tersisa di mangkuk adalah angka 2. Ini merupakan representasi dari {2} yang merupakan subset dari A.
Lakukan hal ini untuk merepresentasikan himpunan bagian yang lain. Setelah itu, ambil semua angka yang ada di mangkuk, maka mangkuk menjadi kosong. Karena setiap pengambilan angka (anggota) merupakan himpunan bagian dari A, maka pengambilan semua anggota juga merupakan himpunan bagian dari A. Pengambilan semua angka (1,2,3) mengakibatkan mangkuk menjadi kosong. Ini merupakan representasi dari himpunan kosong sebagai himpunan  bagian dari A.
Demikian ilustrasi yang dapat kita gunakan untuk menjelaskan himpunan kosong adalah subset dari sebarang himpunan. Kembali ke materi himpunan bagian, jika kita mempunyai himpunan A={1,2,3}, maka himpunan bagian dari A tersebut adalah sebagai berikut: {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A={1,2,3}. Secara umum jika n(A)=m, maka banyaknya himpunan  bagian dari A ada sebanyak 2 pangkat n.
Penjelasan lain yang lebih detail tentang himpunan bagian dapat dibaca di buku matematika untuk  SMP atau sederajat. Demikian materi singkat ini, semoga bermanfaat.
Salam,
Anwar Mutaqin, Aan Hendrayana, dan Heni Pujiastuti.

0 komentar:

Post a Comment